Wp/grc/Δυϊκότης Ταννάκα-Κρεῖν

Ἐν τοῖς Μαθηματικοῖς, ἡ θεωρία τῆς Δυϊκότητος Ταννάκα-Κρεῖν ἀφορᾷ τὴν ἀλληλεπίδρασιν μίας συμπάκτου τοπολογικῆς ὁμάδος καὶ τῆς ἑῆς κατηγορίας γραμμικῶν ἀναπαραστάσεων.

Ἡ δυϊκότης Ταννάκα-Κρεῖν ἐπεκτείνει τὴν δυϊκότητα τοῦ Λεῦ Ποντριάγιν (δυϊκότης μεταξὺ συμπάκτων καὶ διακριτῶν μεταθετικῶν τοπολογικῶν ὁμάδων), ἐν περιπτώσει ὅπου αἱ ὁμάδες εἰσὶ σύμπακτοι, ἀλλὰ οὐχὶ μεταθετικαί. Ἐν ἀντιθέσει πρὸς τὴν περίπτωσιν τῶν μεταθετικῶν ὁμάδων, ἡ δυϊκὴ μαθηματικὴ ὀντότης μίας μη-μεταθετικῆς συμπάκτου ὁμάδος οὐκ ἔστι μία ὁμὰς ἐπἴσης, ἀλλὰ μία κατηγορία &Pi;(G) (μετὰ τινῶν προσθέτων ἰδιοτητων), σχηματιζομένη ὑπὸ τῶν περατοδιάστατων ἀναπαραστάσεων της G· τὰ θεωρήματα οὖν τῶν Ταννάκα-Κρεῖν περιγράφουσι τὸν ὀπισθοχωροῦντα μορφισμὸν ἐκ τῆς &Pi;(G) ὀπίσω εἰς τὴν G, ἐπιτρἐποντά τινι ἐπικτῆσαι τὴν ὁμάδα μέσῳ τῆς ἑῆς κατηγορίας, καὶ χαρακτηρίζοντα πλήρως, ἐν πράγματι, ὅλας τὰς κατηγορίας, τὰς προκύψιμας τοιούτῳ τρόπῳ ἐκ μίας ὁμάδος. Παρομοίᾳ διαδικασίᾳ, ὣς ἔδειξεν ὁ Αλέξανδρος Γρότενδικ, ἡ δυϊκότης Ταννάκα-Κρεῖν δύναται ἐπεκταθῆναι διὰ τὴν περίπτωσιν τῶν ἀλγεβρικῶν ὁμάδων (βλ. ταννάκιος κατηγορία), ἐνῷ δέ, ὑπάρχει ἑτέρα γενίκευσις, ἀναπτυχθεῖσα ἐξ ἐφαρμοσιακῶν μαθηματικολόγων καὶ μαθηματικῶν φυσικολόγων, διὰ τὴν περίπτωσιν τῶν κουαντικῶν ὁμάδων.

Ἡ ἰδέα περὶ τῆς κατηγορίας ἀναπαραστάσεων μίας ὁμάδος
Ἐν τῇ θεωρίᾳ τῆς δυϊκότητος Ποντριάγιν διὰ τοπικὼς συμπάκτους μεταθετικὰς ὁμάδας, τὸ δυϊκὸν ἀντικείμενον μίας ὁμάδος G ἐστὶν ἡ ἑὴ χαρακτηρικὴ ὁμὰς $$\hat{G},$$ ἀποτελουμένη ἐκ τῶν ἑῶν μονοδιαστάτων μονοτικῶν ἀναπαραστάσεων. Εἰ ἐπιτρέπομεν τῇ ὁμάδι G εἶναι μη-μεταθετική, τὸ ἀμεσότερον ἀναλογον τῆς χαρακτηρικῆς ὁμάδος ἐστὶ τὸ θετὸν τῶν κλάσσεων ἰσοδυναμίας ἀναγώγων μονοτικῶν αναπαραστάσεων τῆς G· τὸ ἀνάλογον τοῦ χαρακτηρικοῦ γινομένου ἐστὶ τὸ τανυστορικὸν γινόμενον ἀναπαραστάσεων. Παρὰ ταῦτα, αἱ ἀνάγωγαι ἀναπαραστάσεις τῆς G, ἐν γἐνει, ἀποτυγχάνουσι σχηματίσαι ὁμάδα, ἐπεὶ δή, τὸ τανυστορικὸν γινόμενον τῶν ἀναγώγων ἀναπαραστάσεων οὐκ ἔστιν, ἀπαραιτήτως, ἐπἴσης ἀνάγωγον. Ἐδείχθη ὅτι δεῖ τις θεωρῆσαι τὸ θετὸν &Pi;(G) ὅλων τῶν περατοδιάστατων ἀναπαραστάσεων, καὶ χειρωθῆναι αὐτὸ ὡς μίαν μονοειδῆ κατηγορίαν, ὅπου τὸ γινόμενον ἐστὶ τὸ σύνηθες τανυστορικὸν γινόμενον ἀναπαραστάσεων, ἐνῷ, τὸ δυϊκόν ἀντικείμενον δίδεται ἐκ τῆς τελέσεως τῆς ἀντιβαθμωτικῆς ἀναπαραστάσεως Μία ἀναπαράστασις τῆς κατηγορίας &Pi;(G) ἐστιν εἷς μονοειδὴς φυσικὸς μετασχηματισμὸς ἐκ τοῦ ταυτοτικοῦ συναρτητοῦ $$id_{\Pi(G)}$$ εἰς ἑαυτόν· ἄλλως εἰπεῖν, ἐστὶ μία μη-μηδενικὴ συνάρτησις $$\phi$$, προσεταιριζομένη ᾥτινι δήποτε T ἐνδομορφισμῷ τοῦ τοπολογικοῦ χῶρου τοῦ ἀντικειμἐνου ObΠ(G), ἱκανοποιοῦσα τὴν συνθήκην τῆς συμβατότητος μετὰ τανυστορικῶν γινομένων, $$\phi(T\otimes U)=\phi(T)\otimes\phi(U),$$ καὶ μετὰ αὐθαιρέτων περιπλεκόντων τελεστῶν $$f:T\to U,$$ δῆλα δή, $$ f\circ \phi(T)=\phi(U)\circ f.$$ Τὸ σύνολον $$\Gamma(\Pi(G))$$ ὅλων τῶν ἀναπαραστάσεων τῆς κατηγορίας $$\Pi(G)$$ δύναται προικισθῆναι μετὰ πολλαπλασιασμοῦ $$\phi\psi(T)=\phi(T)\psi(T)$$, καὶ τοπολογίας, ἐν ᾗ, αὐτὸς ἀληθεύει σημειακὼς ($$\phi_a(T)\to\phi(T)$$ διὰ πᾶν $$T\in Ob\Pi(G)$$). Συνεπώς, ἀποδεικνύεται ὅτι δύναται --τὸ $$\Gamma(\Pi(G))$$-- γενέσθαι μία σύμπακτος τοπολογικὴ ὁμὰς.

Τὰ θεωρήματα τῶν Ταννάκα καὶ Κρεῖν
Τὸ θεώρημα Ταννάκα (τοῦ Σ'ίρο Τάννακα) παρἐχει τρόπον τινὰ διὰ τὸ κατασκευάζειν τὴν σύμπακτον ὁμάδα $$G$$ ἐκ τῆς ἑῆς κατηγορίας ἀναπαραστάσεων $$\Pi(G).$$. Ἄφες $$G$$ μία σύμπακτος ὁμὰς καὶ $$\phi_g$$ ἡ ἀναπαράστασις τῆς κατηγορίας $$\Pi(G)$$, δοθείσης ἐκ τοῦ τύπου:
 * $$ \phi_g(T)=T(g), $$

ὅπου $$T$$ ἕν ἀντικείμενον τῆς κατηγορίας $$\Pi(G),$$, οὔτως εἰπεῖν μία ἀναπαράστασις τῆς $$G.$$. Τότε, τὸ ἀπεικόνημα $$g\mapsto\phi_g$$ ἐστὶν εἷς ἰσομορφισμὸς τῶν τοπολογικῶν ὁμάδων $$G$$ καὶ $$\Gamma(\Pi(G)).$$. Τὸ θεώρημα Κρεῖν (τοῦ Μάρκου Γριγόρ'ευιτς Κρεῖν) ἀποκρίνεται εἰς τὴν ἀκόλουθον ἐρώτησιν: ποῖαι κατηγορίαι δύνανται προκῦψαι ὡς δυϊκὰ ἀντικείμενα μίας συμπάκτου ὁμάδος; Ἄφες Π μία κατηγορία περατοδιάστατων ἀνυστορικῶν χώρων, προικισμἐνη μετὰ τῶν τελέσεων τοῦ τανυστορικοῦ γινομένου καὶ τῆς ἐνελίξεως· αἱ ἀκόλουθοι συνθῆκαι εἰσὶν ἱκαναὶ καὶ ἀναγκαῖαι, οὕτως ὧστε, ἡ Π ᾖ ἕν δυϊκόν ἀντικείμενον μίας ὁμάδος G.
 * 1.Ὑπάρχει ἀντικείμενον, μοναδικὸν ἕως ἰσομορφισμόν, μετὰ τῆς ἰδιότητος $$I\otimes A \approx A$$ διὰ πᾶν ἀντικείμενον A τῆς Π.
 * 2.Πᾶν ἀντικείμενον A τῆς Π ἐστὶν ἀποσυνθἐσιμον εἰς ἕν ἄθροισμα ἐλαχιστικῶν ἀντικειμἐνων.
 * 3. Ἂν A καὶ B εἰσὶ δύο ἐλαχιστικὰ ἀντικείμενα, ὁ χῶρος τοῦ ὁμομορφισμοῦ $$Hom_{\Pi}(A,B)$$ ἐστὶν εἶτε μονοδιάστατος (ὅταν τὰ A καὶ B εἰσὶν ἰσομορφικά), εἶτε ἰσοῦται τοῦ μηδενός. Ἂν ὅλαι αἱ ἄνωθι συνθῆκαι ἱκανοποιοῦνται, τότε Π = Π(G), ὅπου G ἐστὶν ἡ ὁμὰς ἀναπαραστάσεων τῆς Π.

Γενικεύσεις
Τὸ ἐνδιαφέρον διὰ τὴν θεωρίαν τῆς δυϊκότητος Ταννάκα-Κρεῖν ἐπαναφυπνίσθη ἐν τοῖς 1980 ἅμα τῇ ἀνακαλύψει τῶν κουαντικῶν ὁμάδῶν ἐν τῷ ἔργῳ τῶν Βλαδιμήρου Δρίνφελ'δ καὶ Μίτσ'ιο Δζ'ίμβο. Μία ἐκ τῶν κυρίων προσεγγίσεων τῆς μελέτης μίας κουαντικῆς ὁμάδος ἀφορᾷ τὴν μελέτην τῶν ἑῶν περατοδιάστατων άναπαραστάσεων, σχηματιζουσῶν μίαν κατηγορίαν γενικότερου τύπου, συγγενοῦς τῶν μονοειδῶν κατηγοριῶν Π(G), δῆλα δή, τῶν πλεξιδικῶν μονοειδῶν κατηγοριῶν. Ἀπεδείχθη ὅτι μία καλὴ θεωρία δυϊκότητος τύπου Ταννάκα-Κρεῖν ὑπάρχει, ὁμοίως, καὶ διὰ τούτην τὴν περίπτωσιν, καὶ δή, ἔχουσα μεγάλην συμβολὴν εἰς τὴν θεωρίαν τῶν κουαντικῶν ὁμάδων, προσφέρουσα ἕν φυσικὸν ὑπόβαθρον διὰ τὴν μελέτην τῶν κουαντικῶν ὁμάδων καὶ τῶν σφῶν ἀναπαραστάσεων. Ὀλίγον ὕστερον, διάφορα παραδείγματα πλεξιδικῶν μονοειδῶν κατηγοριῶν εὑρέθησαν ἐν τῇ θεωρίᾳ ῥητῶν συμμόρφων πεδίων. Ἡ φιλοσοφία τῶν Ταννάκα-Κρεῖν προτείνει ὅτι αἱ πλεξιδικαὶ μονοειδεῖς κατηγορίαι, αἱ προκύπτουσαι ἐκ τῆς θεωρίας συμμόρφων πεδίων, δύνανται ἐπικτηθῆναι ἐπἴσης μέσῳ κουαντικῶν ὁμάδων, ὅπερ οἱ Δαυὶδ Κάζ'δαν καὶ Γεωργίου Λοῦστιγ τελικὼς ἀπέδειξαν ἐν σειρᾷ σφῶν ἐργασιῶν. Ἐκ τῆς ἄλλης πλευρᾶς, αἱ πλεξιδικαὶ μονοειδεῖς κατηγορίαι, αἱ προκύπτουσαι ἐκ τῶν κουαντικῶν ὁμάδων, ἐφαρμόσθησαν ὑπὸ τῶν Νικολάου Ρεσ'ετίχιν καὶ Βλαδιμήρου Τουραίευ εἰς τὴν κατασκευὴν νέων ἀναλλοιώτων ἐν τῇ θεωρίᾳ κόμβων.

Θεώρημα Δόπλιχερ-Ρόβερτς
Τοῦτον τὸ ἀποτέλεσμα (τῶν Σεργίου Δόπλιχερ καὶ Ιωάννου Ρόβερτς) χαρακτηρίζει τὴν Rep(G), ἐν ὅροις θεωρίας κατηγοριῶν, ὡς ἕναν τύπον ὑποκατηγορίας τῆς κατηγορίας τῶν χώρων Ἵλβερτ· τοιοῦται κατηγορίαι μονοτικῶν ἀναπαραστάσεων μίας συμπάκτου ὁμάδος εἰσὶν αἱ αὐταὶ ὡς ἐνίτιναι ἐκ τῶν σφῶν ὑποκατηγοριῶν, ἂν ταῦται αἱ ὑποκατηγορίαι ἱκανοποιοῦν τὴν κάτωθι συνθήκην: εἰσὶν αυστηρὼς συμμετρικαὶ μονοειδεῖς C*-κατηγορίαι μετὰ συζυγῶν, καὶ ἔχουσι ὑπαντικείμενα καὶ εὐθέα ἀθροίσματα, οὕτως ὧστε: ἡ C*-αλγεβρα τῶν ἐνδομορφισμῶν τῆς μονοειδοῦς μονάδος ἀποτελῆται ἐκ κλιμακωτῶν.

Ἐξωτερικοὶ σύνδεσμοι

 * André Joyal, Ross Street, An introduction to Tannaka duality and quantum groups, Category Theory, Proceedings, Como 1990 (Part II), eds. A. Carboni, M. C. Pedicchio, G. Rosolini, Lectures Notes in Mathematics 1488, Springer, Berlin, 1991, 411-492.

Tannaka-Krein duality